【摘要】  目的 通过二次曲线方程来描述正视儿童角膜前表面的二维空间形态，根据各子午线非球面性的变化规律推导出其三维形态的数学表达式及非球面性变化规律表达式。方法 随机选取在本院进行常规体检的正常儿童77例（77只右眼），分别用Humphrey ALTAS和Orbscan-Ⅱ角膜地形图系统进行测量，并记录前表面轴向图36条子午线（从0°开始，每间隔10°取子午线至350°）上4.5 mm内所有点的曲率值。通过建立三维座标系、座标轴旋转、解方程组，求得各个子午线上的二次曲线表达式及Q值。根据36条子午线Q值，求得最适二次曲面方程式及Q值变化规律的函数表达式。结果 ①角膜前表面各截痕的Q值介于－1～0.5之间。配对t检验显示，两种仪器各截痕Q差值在0°、10°、20°、30°、170°、180°、190°、200°、210°、220°、350°子午线差异无统计学意义。②角膜前表面的二次曲面方程为：++=1（Orbscan-Ⅱ）；++=1（Humphrey ALTAS）。③角膜前表面Q值变化规律为：Q=-1+（Orbscan-Ⅱ）；Q=-1+（Humphrey ALTAS）。结论 ①正视儿童角膜前表面各截痕形态均为椭圆形，在水平、近水平方向上为长椭圆形。②正视儿童角膜前表面为长轴在Z轴、短轴在Y轴的长椭球面。③各截痕的Q值随角度变化呈正弦规律。

    【关键词】  角膜地形图；角膜，前表面；儿童；数字模型

 A mathematical model of the corneal anterior surface of emmetropic children and an evaluation of asphericity

    ZHU Leru*， WANG Bo， SHI Mingguang*.

    * Department of Ophthalmology， the Ｓecond Affiliated Hospital of Wenzhou Medical College， Wenzhou China， 325000

    ［Abstract］  Objective  To describe the shape of the planar space of the corneal anterior surface of children with emmetropia by using a conic section， and then to plot the changes in asphericity on 36 meridians to deduce the formulae of the three-dimensional shape of the corneal anterior surface. Methods  Seventy-seven right eyes of 77 children were measured with both the Humphrey ALTAS and Orbscan-Ⅱ. The curvature of all the points on 36 meridians (per 10° from 0° to 350°)， limited to a 4.5 mm zone， was collected. A coordinate was established with the horizontal， vertical and optical axis defined as the X， Y and Z axis. A circumrotation was then made. The formulae were calculated and the Q of 36 meridians， deduced from the formulae of the anterior surface， identified the shift rule of asphericity. Results The Q of the anterior surface was between －1～0.5. There was no significant difference in Q between the two instruments for the following meridians： 0°， 10°， 20°， 30°， 170°， 180°， 190°， 200°， 210°， 220° and 350°. The formulae of the anterior surface were：++=1（Orbscan-Ⅱ）；++=1（Humphrey ALTAS）.The change in Q followed the meridians： Q=-1+（Orbscan-Ⅱ）；Q=-1+（Humphrey ALTAS）. Conclusion The formulae of each meridian of the corneal anterior surface are ellipses， and the asphericity of the horizontal or near-horizontal meridians are prolate ellipses. The formulae of the anterior surface are ellipsoids， with the major axis on the Z axis and the short axis on the Y axis.The Q is related to the sine of the angles.

    ［Key words］  corneal topography； cornea，anterior surface； children； mathematical model

    随着角膜地形图系统的飞速发展，人们对角膜形态的研究进入了新的阶段，不断寻找最合适的数学表达式[1- 4]来描述其空间形态，但至今未提出儿童角膜三维空间数学模型。同时，关于正视儿童角膜非球面性的研究，国内外报道较少[5-6]。目前，计算机辅助角膜地形图系统（computerized video keratography，CVK）已经成为测量角膜形态的金标准，其种类繁多，而基于Placido盘的角膜地形图系统和Orbscan-Ⅱ是临床研究应用最多的两种仪器，研究表明它们在描述角膜前表面形态变化时既有差异又有共性[7]。

    本研究分别使用Humphrey ALTAS（基于Placido盘的角膜地形图系统）和Orbscan-Ⅱ对正视儿童角膜进行测量，将两种仪器所得数据进行数学建模，用二次曲面方程来反映正视儿童角膜前表面空间形态的本质特征，并探讨各子午线非球面性随角度变化的规律。        

    1  资料和方法

    1．1  临床资料

    1．1．1  检查对象  序贯选择在本院进行常规体检的正常儿童77例（77只右眼），其中女30例（30眼），男47例（47眼），年龄7～11岁，平均（8.75±1.20）岁。

    1．1．2  入选标准  远、近裸眼视力均≥5.0（标准五分记录法），检影验光无明显屈光不正。既往无器质性眼病史及全身病史者。

    1．2  检查仪器   ZEIZZ公司生产的Humphrey ATLASTM Model 991（version A12）及Salt Lake City生产的BAUSCH & LOMB SURGICAL（version 3.0）。

    1．3  检查方法  同一熟练技术人员对每位被检查对象分别进行两种仪器的测量，检查均在上午9：00~11：00点进行，顺序随机，检查过程中不使用人工泪液。每种仪器分别测量3次，选择最佳影像采集数据。

    1．4  数据采集  分别取两种仪器前表面轴向图36条子午线（从0°开始，每间隔10°取子午线至350°）上4.5 mm内所有点的曲率值K。记录为（R，?兹，F）（R：测量点距离角膜顶点的距离，单位mm；?兹：子午线的度数，单位°；F：曲率值，单位D）。

    1．5  建立数学模型

    1．5．1  建立Cartisian坐标系  以角膜顶点为坐标轴中心，0~180°为X轴，90°~270°为Y轴，光轴为Z轴，建立Cartisian三维坐标系，各点坐标为（x，y，z）。

    其中

    x=R·cos?兹y=R·sin?兹z=z①

    1．5．2  计算各截痕二次曲线方程  将X-Y坐标平面绕Z轴进行，能使各子午线的截痕在新坐标下的x或y为0，从而得到其二次曲线方程。假设使得这条子午线位于新坐标系XYZ下Y的轴上，可得出式②：

    ()2=a1z+a2()2=0x=sin?兹-cos?兹y=cos?兹+sin?兹z=②

    又根据Baker’s方程式[8]y=、曲率半径公式r=、式①、式②，经三角函数推导可得式③[n＝1.376（Orbscan-Ⅱ），n＝1.3375（Humphrey ALTAS）]：

    =+(1+a2)22=R2③

    任取子午线上两点代入式③，便可求得一组a1和a2。为使所得二次曲线无限接近真实形态，需多次反复取点代入求平均值。如一条子午线上有n点，那么就取次。     

    1．5．3  计算各截痕Q值  根据Q=-(a2+1)，代入36条子午线上平均a2值得Q值。

    1．5．4  推导二次曲面方程式  由于二维空间各截痕的形态与三维空间形态是呈一一对应关系的（见表1），故根据36条子午线的Q值可大致判断角膜的三维形态，在二次曲面公式中选取合适的公式进行拟合，得到通用方程。现以椭球面为例，进行数学推导：设在原坐标系下椭球面可表示为：

    ++=1④

    由②、④可得式⑤

    c==(cos2?兹+sin2?兹)⑤

    将36条子午线的a1、a2值代入⑤中便可得36个c，求其平均值并代入⑤，然后任取两个不同的?兹解得 a、b值，共可取630次，求平均值。

    1．5．5  推导Q值随?兹变化的关系式  现以椭球面为例，说明数学推导过程。结合式⑤及Q与a2的关系式，可得Q=-1+，故可假设Q与?兹满足：Q=-1+， 根据36条子午线的Q值及对应的?兹，由最小二乘法求得x、y值。

    1．6  数据的导出及处理  分别将Humphrey ALTAS及Orbscan-Ⅱ的原始数据导出，并保存为.txt格式。用maple 8软件进行编程，实现任意多次取点及所有计算。

    1．7  统计学方法  采用SPSS 12.0统计软件进行统计分析。使用Kolmogorov-Smirnov Test进行正态性检验，采用配对t检验来检验一致性，Pearson相关系数进行相关分析。部分数据采取描述性统计分析。

    2  结果

    2．1  各子午线a1、a2值及数学表达式  两种角膜地形图系统所得各截痕的a1＞0，a2＜0，均服从正态分布（见表2），故其数学表达式为椭圆方程。

    2．2  各子午线Q值  Q值均服从正态分布，介于－1～1之间；配对t检验显示，仅11条子午线的Q值一致，余子午线差异均有非常显著的统计学意义（见表3）。

    2．3  各子午线Q值对称性评估  关于中心对称的两条子午线Q值，配对 t检验显示其对称性较差；相关性分析显示，Orbscan-Ⅱ的Q值对称性优于Humphrey ALTAS，且集中在垂直轴向(见表4)。

    2．4  角膜前表面二次曲面表达式  ++=1（Orbscan-Ⅱ）；++=1（Humphrey ALTAS）。

    2．5  角膜前表面Q值变化规律公式  Q=-1+（Orbscan-Ⅱ）；Q=-1+（Humphrey ALTAS）。

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